Prendi un mazzo di carte, mescolalo per bene e disponilo in fila. Bene: con ogni probabilità hai appena creato un ordine di carte mai esistito prima nella storia dell’universo, e che non si ripeterà mai più. Non è una metafora poetica, ma una conseguenza diretta della matematica. Scopriamo perché.
Il fatto sorprendente in una frase
Un mazzo di carte francesi è composto da 52 carte. Il numero di modi diversi in cui queste 52 carte possono essere ordinate è talmente grande che, ogni volta che si mescola un mazzo a fondo, si ottiene quasi certamente una sequenza unica: nessuno, in nessun luogo e in nessuna epoca, ha mai avuto quel preciso ordine tra le mani. È uno dei fun fact più affascinanti della matematica, perché unisce un gesto banale a un numero che sfida l’immaginazione.
Che cos’è il fattoriale
Per capire la magia bisogna conoscere il concetto di fattoriale, indicato con un punto esclamativo. Il fattoriale di un numero è il prodotto di tutti i numeri interi positivi fino a quel numero. Per esempio, il fattoriale di 3 (che si scrive 3!) è 3 × 2 × 1 = 6.
Il motivo è semplice: per la prima posizione del mazzo possiamo scegliere tra 52 carte, per la seconda ne restano 51, per la terza 50, e così via fino all’ultima. Moltiplicando tutte queste possibilità otteniamo 52 × 51 × 50 × … × 2 × 1, ovvero 52 fattoriale (52!).
Quanto vale 52 fattoriale
Il risultato è un numero con 68 cifre. Per esteso comincia così: circa 80.658.000.000.000… e prosegue per altre decine di cifre. In notazione scientifica vale all’incirca 8 × 10 elevato alla 67. È un numero che la mente umana non riesce davvero a concepire: parliamo di 8 seguito da 67 zeri (approssimando), un valore enormemente più grande di quasi tutte le quantità fisiche che conosciamo.
Più grande del numero di stelle nell’universo
Per dare un’idea delle proporzioni: le stelle nell’intero universo osservabile sono stimate intorno a 10 elevato alla 24 (un 1 seguito da 24 zeri). Gli atomi sulla Terra sono circa 10 elevato alla 50. Il numero di ordinamenti possibili di un mazzo di carte, 10 elevato alla 67 circa, supera entrambi di molti ordini di grandezza.
In altre parole, le combinazioni di un semplice mazzo di carte sono molte di più delle stelle dell’universo e perfino di tutti gli atomi che compongono il nostro pianeta. Un risultato controintuitivo, che ricorda altri fun fact capaci di ribaltare la nostra percezione delle dimensioni, come quello che riguarda quanto pesa davvero una nuvola.
Una prova con i numeri: perché è quasi impossibile ripetersi
Immaginiamo che tutti gli esseri umani mai esistiti, miliardi di persone, abbiano mescolato carte ininterrottamente fin dalla preistoria, producendo un nuovo ordine ogni secondo. Anche così, il numero totale di mescolate realizzate resterebbe una frazione infinitesimale rispetto a 52!. Le possibilità sono talmente tante che la probabilità di replicare per caso una sequenza già ottenuta da qualcun altro è praticamente nulla.
Ecco perché possiamo affermare, con ottima approssimazione, che ogni mescolata accurata produce una disposizione mai vista prima. Non è certezza matematica assoluta, ma una quasi-certezza statistica così solida da poter essere considerata vera nella pratica.
Attenzione: serve una mescolata davvero casuale
C’è una condizione importante. L’unicità vale solo se il mazzo viene mescolato in modo realmente casuale e accurato. Un mazzo nuovo di zecca, infatti, esce dalla confezione con un ordine standard identico in tutte le confezioni del mondo. Anche poche mescolate sommarie possono lasciare tracce dell’ordine iniziale.
Gli studi sul tema indicano che servono circa sette «riffle shuffle» (la classica mescolata a ponte in cui si intrecciano due metà del mazzo) per rendere un mazzo sufficientemente casuale. Solo a quel punto entra davvero in gioco l’astronomico potere di 52!.
Perché ci stupisce tanto
Il fascino di questo fatto sta nel contrasto tra la semplicità del gesto e l’enormità del risultato. Siamo abituati a pensare a un mazzo di carte come a un oggetto comune e limitato, e invece nasconde una varietà combinatoria che supera l’immaginazione. È un ottimo esempio di come la matematica sappia rivelare l’infinito dietro le cose più ordinarie.
La crescita esplosiva del fattoriale, del resto, è la stessa che rende impossibili da elencare anche problemi apparentemente piccoli, come tutti i possibili percorsi tra un certo numero di città. Per un approfondimento sul concetto di mescolamento e sulle sue proprietà matematiche si può consultare la voce dedicata su Wikipedia.
Domande frequenti
È vero che ogni mescolata di carte è unica?
Sì, con altissima probabilità. Le combinazioni possibili sono così tante che una mescolata accurata produce quasi sempre un ordine mai esistito prima.
Quanto vale 52 fattoriale?
È un numero di 68 cifre, pari a circa 8 × 10 elevato alla 67: un valore enormemente grande, impossibile da scrivere comodamente per esteso.
Le combinazioni sono più delle stelle dell’universo?
Sì. Le stelle dell’universo osservabile sono stimate intorno a 10 elevato alla 24, mentre gli ordinamenti di un mazzo sono circa 10 elevato alla 67: enormemente di più.
Vale anche per un mazzo appena aperto?
No. Un mazzo nuovo ha un ordine standard identico in tutte le confezioni. L’unicità vale solo dopo una mescolata davvero casuale e accurata.
Quante volte bisogna mescolare?
Gli studi indicano circa sette mescolate a ponte (riffle shuffle) per ottenere un mazzo sufficientemente casuale.
Che cos’è il fattoriale?
È il prodotto di tutti i numeri interi positivi fino a un certo numero. Per esempio 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.